Angewandte Mathematik mit MathcadLehr- und Arbeitsbuch: Band by Josef Trölß

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verf?gung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierb?ndigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Sch?lerinnen und Sch?ler h?herer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich – die sich ?ber eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Differential- und Integralrechnung informieren wollen und dabei die Vorz?ge von Mathcad m?glichst effektiv n?tzen m?chten.

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Die Lücke (Definitionslücke) kann durch die Zusatzdefinition f(1) = 2 stetig geschlossen werden ! 0 1 2 1 2 x 1 x 1 x 1 vereinfacht auf x 1 Abb. 1 Eigenschaften stetiger Funktionen Stetige Funktionen besitzen eine Reihe von nennenswerten Eigenschaften: Zwischenwertsatz: In einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] nehmen stetige Funktionen jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Nullstellensatz: Ist f eine in I = [a, b] stetige Funktion, deren Funktionswerte an den Randpunkten a und b verschiedene Vorzeichen haben, so gibt es mindestens einen Wert x 0 ] a, b[ mit f(x0 ) = 0.

H. lim x o x0 f ( x) = G und G = f x0 (2-9) Trifft auch nur eine der beiden Bedingungen nicht zu, so heißt die Funktion an der Stelle x 0 unstetig. b) Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an allen Stellen des Definitionsbereichs stetig ist. Seite 40 Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit Bemerkung: Existiert an einer Definitionslücke x0 der Grenzwert lim f ( x) = c (c ), so kann die Funktion x o x0 durch die zusätzliche Definition f(x 0 ) = c stetig fortgesetzt werden. Die Lücke wird dadurch geschlossen (behebbare Unstetigkeitsstelle).

Rechtsseitiger Grenzwert 0 1 2 3 4 5 x  x1  x2 x-Achse Abb. 2: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = sign(x) (Vorzeichenfunktion) auf Stetigkeit. 1) sign( x) Liefert hier den falschen Wert! 1 lim sign ( x) o 1  xo0 2 Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 0 unstetig, 2 1 lim sign ( x) o 1  xo0 1 sign( 0) 1 0 2 sonst stetig ! x 0 Abb. 3: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = V(x - a) = )(x - a) (allgemeine Heavisidefunktion) auf Stetigkeit. 1  1) lim ) ( x  1) o 1  xo1 0 lim ) ( x  1) o 0  xo1 1 Die Funktion ist an der Stelle x = 1 unstetig, sonst stetig !

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