Entscheidungstheorie: Eine strukturtheoretische Darstellung by EGLE

By EGLE

Die Absiaht dieses Buahe8 i8t es, die vepsahiedenaptigen Entsaheidungskonzepte unter einem einheitLiahen Gesiahtspunkt zu etabLiepen und die Entsaheidungstheopie sahLeahthin auf eine 8tpuktuptheopeti8ahe GpundLage zu steLLen. Die ZieLopientiepung von 80ziaLen, konomisahen, teahnisahen u.a. Systemen bedingt das PpobLem optimaLep Entsaheidung odep StpategiewahL. Dieses ppobLem ist siahep dann tpiviaL, wenn da8 process nup eine ReaLisiepungsm gLiahkeit besitzt. In aLLen "niahtentapteten" FtlLLen abep Ltlsst 8iah das OptimiepungsppobLem sinnvoLL aLs PptlfepenzppobLem fopmuLiepen: Die Menge dep ReaLisiepungsm gLiahkeiten tptlgt eine Pptlfepenz stpuktup, d.i. eine ReLation, die aussagt, ob eine ReaLisiepung (bzw. die Ent8aheidung fup ) sahLeahtep, gLeiah intestine odep bessep i8t aLs eine ReaLisiepung y (bzw. die Entsaheidung fup y). Dieses Konzept ist den akonomen geLtlufig untep dem Namen "Nutzentheopie." Zwap wupde in dep neokLassisahen Wiptsahafts theopie aussahLiessLiah mit peeLLweptigen Nutzen- und "WohLfahpts"-Funktionen opepiept. Dep Sahweppunkt des Fopsahungsintepesses hat siah dopt abep seit den funfzigep Jahpen (ARROW, FISHBURN eta.) vepLagept zugunsten von Pptlfepenztheopien, die "ppimitivep" und in bezug auf Infor mationen ansppuah8Losep sind. Da8 Ruakgpat diesep Nutzen konzepte ist dep Theopie pptlgeopdnetep Mengen zugedaaht. ALs Mindeststpuktup fup OptimaLittltsau8sagen wipd eine Pptlopdnungsstpuktup (eine "bessep - gLeiah intestine" - ReLation) auf dep Menge m gLiahep Entsa eidungen gefopdept. Diesep "pptlopdinaLe" Standpunkt ist eighty basic, dass ep weit ubep die konomisahe Theopie hinaus fpuahtbap epsaheint. Dieser Standpunkt wird im WesentLichen auch durch das ganze vorLiegende Buch hindurch eingenommen. Ein ZieL ist es deshaLb gewesen, die Theorie pr geordneter mathematischer Strukturen systematisch und von Grund auf darzusteLLen. Dies geschieht im TeiL I des Buch

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Jedes Element eines Verbandes ist idemVae: X : aVa= a, aAa= a. : (X,T) ~ (X', T') ein Homomorphismus, und a e: X idempotent, so ist auch f(a) f(a) = f(aTa) = f(a) T' idempotent: f(a). f. a :=a T , •.. B. in:l'l: n'a bezüglich "+" und an bezüglich"'" 35 d) gilt: Ist X ein Magma, so heißt T kommutativ, wenn Vx,y E X : x T y = Y T x. Kommutieren x und y und ist f : X ~ X' ein Homo- morphismus, so kommutieren auch die Bilder: f (x) f (y) = f (x T y) = f (y T x) = f (y) T f (x) • T Beispiele: (1) In Verbänden sind sup und inf assoziativ und kommutativ.

Ist A konvex, so ist A auch saturiert. X ist immer konvex, ebenso alle abgeschlossenen Intervalle. 2) Maximale und größte Elemente Vorbemerkung: Ist Reine Präordnungsrelation mit G als Graphen, so heißt die durch den reziproken Graphen G- 1 definierte Relation R- 1 die zu R entgegengesetzte Präord-1 nungsrelation. G heißt duale Präordnung oder Gegenpräor d nung zu G. Beim Ubergang von R zu R 1 gehen Theoreme in bezug auf R über in "duale" Theoreme in bezug auf R- 1 . a) Definition: Ist X prägeordnet mittels $ und ist< die zugrundeliegende strikte Ordnung, so heißt a e; X maximal, wenn gilt: $x e; X Äquivalent damit ist: 'i x a < x; e; X : a :;; x =* a _ x.

Aus f2(G) wird aber eine Präordnung G (Relation ~) gebildet, indem eventuell auftretende Zyklen in Mengen äquivalenter Elemente transformiert werden. ) ~ e; {1,2,3} ist. J Die Präordnung durch GB := GU Gwird L1 B • Beispiel: Direktes Bild einer Präordnung G auf X (L1 B diskret auf ganz B fortgesetzt Diagonale von B x B). mittels der kanonischen Surjektion s : X ~ X/I (Vgl. §3, 1) b), S. 13 oben). Für s ist die an s assoziierte Äquivalenz per definitionem identisch mit G" G- 1 • Die an G assoziierte Ordnung Go in X/I ist das Beispiel einer "Quotientenstruktur".

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